Etude de fonction

4 - Etude de fonction


Pour étudier une fonction :

1. On calcule la dérivée de la fonction.
2. On étudie le signe de la dérivée.
3. On calcule les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les valeurs de la fonction pour les valeurs de x où f' change de signe. Enfin on est en mesure de dessiner son tableau de variations.

Exemples :

*** Etudier les variations de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].

1. On calcule la dérivée. Ici [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].

2. On étudie le signe de la dérivée : [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], donc f' est positive lorsque [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].

3. On calcule les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. Ici, [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].

Il y a une forme indéterminée pour le calcul de la limite en [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. On factorise donc par le terme de plus haut degré :

On calcule f(1) : [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].
On peut alors dessiner le tableau de variations de la façon suivante :



*** Etudier les variations de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

Pour le calcul de la dérivée, posons [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. Alors [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. Donc :

Ici l'étude du signe de la dérivée est assez rapide car le numérateur est toujours positif : [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et 5 > 0 donc la parabole est toujours au dessus de l'axe des abscisses, et le dénominateur aussi (un carré est toujours positif, on voit ici l'intérêt de ne pas développer le dénominateur - chapitre précédent - ). f n'est pas définie en x = -1 et en x = 1 donc [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].Tu peux faire les calculs de limites, pour les limites en moins l'infini et en plus l'infini il faut factoriser en haut et en bas par x carré et simplifier, et pour les limites en [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] le résultat est toujours égal à l'infini, en + ou en - suivant le signe de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].
Le tableau est le suivant :


Equation de la tangente :

Souvent, dans les exercices, on te demandera de donner l'équation de la tangente à la fonction f en un point x = a, c'est à dire de donner l'équation de la droite rouge, qui touche la courbe de f au point d'abscisse x = a.



La droite rouge est une droite, son équation s'écrit donc [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. D'après le [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط], le coefficient directeur de la tangente en un point est égal à la dérivée de f en ce point. Donc l'équation de la droite rouge s'écrit [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. Comme le point [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] appartient à la droite, ses coordonnées vérifient l'équation de la droite, donc [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. En remplacant la valeur de p dans l'équation [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], on obtient finalement la formule générale : [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
Pour calculer l'équation de la tangente à une fonction f en x = 2, tu dois donc juste calculer f'(2), f(2), et remplacer les résultats dans la formule ci dessus.